仿射变换（Affine Transformation）原理及应用（1）

仿射变换（Affine Transformation）原理及应用

文章目录

1 什么是仿射变换2 仿射变换数学表达3 仿射变换理解3.1 平移变换3.2 反射变换3.3 旋转变换3.4 opencv中的仿射矩阵

4 参考文献

1 什么是仿射变换

仿射变换（Affine Transformation）其实是另外两种简单变换的叠加：一个是线性变换，一个是平移变换

仿射变换变化包括缩放（Scale、平移(transform)、旋转(rotate)、反射（reflection,对图形照镜子）、错切(shear mapping，感觉像是一个图形的倒影)，原来的直线仿射变换后还是直线，原来的平行线经过仿射变换之后还是平行线，这就是仿射

仿射变换中集合中的一些性质保持不变： （1）凸性 （2）共线性：若几个点变换前在一条线上，则仿射变换后仍然在一条线上 （3）平行性：若两条线变换前平行，则变换后仍然平行 （4）共线比例不变性：变换前一条线上两条线段的比例，在变换后比例不变

2 仿射变换数学表达

一个集合 XX 的仿射变换为：

f

(

x

)

=

A

x

+

b

,

x

∈

X

f(x)=Ax+b, \quad x\in X

f(x)=Ax+b,x∈X

仿射变换是二维平面中一种重要的变换，在图像图形领域有广泛的应用，在二维图像变换中，一般表达为：

[

x

′

y

′

1

]

=

[

R

00

R

01

T

x

R

10

R

11

T

y

0

0

1

]

[

x

y

1

]

\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ 1 \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} R_{00}&R_{01}&T_x \\ R_{10}&R_{11}&T_y \\ 0& 0& 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \\ \end{bmatrix}

⎣⎡​x′y′1​⎦⎤​=⎣⎡​R00​R10​0​R01​R11​0​Tx​Ty​1​⎦⎤​⎣⎡​xy1​⎦⎤​

可以视为线性变换R和平移变换T的叠加

3 仿射变换理解

要熟练应用仿射变换，则需先理解仿射变换，说白了就是要弄清楚上面的R，T矩阵各个参数代表什么含义，用图像来表达：

3.1 平移变换

不难想象，就是将x，y平移指定值，则R矩阵为单位矩阵，T矩阵为指定值，如上图中，第一行第二列图

M

=

[

1

0

T

x

0

1

T

y

0

0

1

]

M=\begin{bmatrix} 1&0&T_x \\ 0&1&T_y \\ 0& 0& 1 \\ \end{bmatrix}

M=⎣⎡​100​010​Tx​Ty​1​⎦⎤​

3.2 反射变换

见图最后一行，如相对x轴放射，则x不变，y变为相反号

M

=

[

1

0

0

0

−

1

0

0

0

1

]

M=\begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 0&-1&0 \\ 0& 0& 1 \\ \end{bmatrix}

M=⎣⎡​100​0−10​001​⎦⎤​

3.3 旋转变换

关于旋转矩阵，这里详细来看看，网上博客中，有朋友在疑惑旋转矩阵中，

s

i

n

θ

sin\theta

sinθ的负号位置问题，下面我谈谈我个人想法，若有错误请大家指点。为简单起见，只从一个点的旋转来看

(1) 左下角为坐标原点

坐标原点为左下角点

P

(

x

,

y

)

P(x,y)

P(x,y)为坐标系中一个点，与x轴的夹角为

α

\alpha

α，假设其到原点的距离为1（方便计算）点

P

′

(

x

′

,

y

′

)

P'(x',y')

P′(x′,y′)为P点逆时针旋转

θ

\theta

θ角度的点点

P

′

′

(

x

′

′

,

y

′

′

)

P''(x'',y'')

P′′(x′′,y′′)为P点顺时针旋转

θ

\theta

θ角度的点

根据简单三角关系，可知

{

x

=

c

o

s

α

y

=

s

i

n

α

\begin{cases} x = cos\alpha\\ y = sin\alpha \end{cases}

{x=cosαy=sinα​ 逆时针时：

{

x

′

=

c

o

s

(

α

+

θ

)

=

c

o

s

α

∗

c

o

s

θ

−

s

i

n

α

∗

s

i

n

θ

=

x

∗

c

o

s

θ

−

y

∗

s

i

n

θ

y

′

=

s

i

n

(

α

+

θ

)

=

s

i

n

α

∗

c

o

s

θ

+

c

o

s

α

∗

s

i

n

θ

=

y

∗

c

o

s

θ

+

x

∗

s

i

n

θ

\begin{cases} x' = cos(\alpha + \theta) = cos\alpha * cos\theta - sin\alpha*sin\theta = x* cos\theta - y*sin\theta \\ y' = sin(\alpha + \theta) = sin\alpha * cos\theta + cos\alpha*sin\theta = y* cos\theta + x*sin\theta \end{cases}

{x′=cos(α+θ)=cosα∗cosθ−sinα∗sinθ=x∗cosθ−y∗sinθy′=sin(α+θ)=sinα∗cosθ+cosα∗sinθ=y∗cosθ+x∗sinθ​ 则，逆时针旋转矩阵

R

′

R'

R′为:

R

′

=

[

c

o

s

θ

−

s

i

n

θ

s

i

n

θ

c

o

s

θ

]

R'= \begin{bmatrix} cos\theta&-sin\theta\\ sin\theta&cos\theta\\ \end{bmatrix}

R′=[cosθsinθ​−sinθcosθ​]

顺时针时：

{

x

′

′

=

c

o

s

(

α

−

θ

)

=

c

o

s

α

∗

c

o

s

θ

+

s

i

n

α

∗

s

i

n

θ

=

x

∗

c

o

s

θ

+

y

∗

s

i

n

θ

y

′

′

=

s

i

n

(

α

−

θ

)

=

s

i

n

α

∗

c

o

s

θ

−

c

o

s

α

∗

s

i

n

θ

=

y

∗

c

o

s

θ

−

x

∗

s

i

n

θ

\begin{cases} x'' = cos(\alpha - \theta) = cos\alpha * cos\theta + sin\alpha*sin\theta = x* cos\theta + y*sin\theta \\ y'' = sin(\alpha - \theta) = sin\alpha * cos\theta - cos\alpha*sin\theta = y* cos\theta - x*sin\theta \end{cases}

{x′′=cos(α−θ)=cosα∗cosθ+sinα∗sinθ=x∗cosθ+y∗sinθy′′=sin(α−θ)=sinα∗cosθ−cosα∗sinθ=y∗cosθ−x∗sinθ​ 则，顺时针旋转矩阵

R

′

′

R''

R′′为:

R

′

′

=

[

c

o

s

θ

s

i

n

θ

−

s

i

n

θ

c

o

s

θ

]

R''= \begin{bmatrix} cos\theta&sin\theta\\ -sin\theta&cos\theta\\ \end{bmatrix}

R′′=[cosθ−sinθ​sinθcosθ​]

从上可以看出，这个负号位置问题，个人认为与旋转方向相关

（2）左上角为坐标原点

坐标原点为左上角点

P

(

x

,

y

)

P(x,y)

P(x,y)为坐标系中一个点，与x轴的夹角为

α

\alpha

α，假设其到原点的距离为1（方便计算）点

P

′

(

x

′

,

y

′

)

P'(x',y')

P′(x′,y′)为P点逆时针旋转

θ

\theta

θ角度的点点

P

′

′

(

x

′

′

,

y

′

′

)

P''(x'',y'')

P′′(x′′,y′′)为P点顺时针旋转

θ

\theta

θ角度的点

根据简单三角关系，可知

{

x

=

c

o

s

α

y

=

s

i

n

α

\begin{cases} x = cos\alpha\\ y = sin\alpha \end{cases}

{x=cosαy=sinα​ 逆时针时：

{

x

′

=

c

o

s

(

α

−

θ

)

=

c

o

s

α

∗

c

o

s

θ

+

s

i

n

α

∗

s

i

n

θ

=

x

∗

c

o

s

θ

+

y

∗

s

i

n

θ

y

′

=

s

i

n

(

α

−

θ

)

=

s

i

n

α

∗

c

o

s

θ

−

c

o

s

α

∗

s

i

n

θ

=

y

∗

c

o

s

θ

−

x

∗

s

i

n

θ

\begin{cases} x' = cos(\alpha - \theta) = cos\alpha * cos\theta + sin\alpha*sin\theta = x* cos\theta + y*sin\theta \\ y' = sin(\alpha - \theta) = sin\alpha * cos\theta - cos\alpha*sin\theta = y* cos\theta - x*sin\theta \end{cases}

{x′=cos(α−θ)=cosα∗cosθ+sinα∗sinθ=x∗cosθ+y∗sinθy′=sin(α−θ)=sinα∗cosθ−cosα∗sinθ=y∗cosθ−x∗sinθ​ 则，逆时针旋转矩阵

R

′

R'

R′为:

R

′

=

[

c

o

s

θ

s

i

n

θ

−

s

i

n

θ

c

o

s

θ

]

R'= \begin{bmatrix} cos\theta&sin\theta\\ -sin\theta&cos\theta\\ \end{bmatrix}

R′=[cosθ−sinθ​sinθcosθ​]

顺时针时：

{

x

′

′

=

c

o

s

(

α

+

θ

)

=

c

o

s

α

∗

c

o

s

θ

−

s

i

n

α

∗

s

i

n

θ

=

x

∗

c

o

s

θ

−

y

∗

s

i

n

θ

y

′

′

=

s

i

n

(

α

+

θ

)

=

s

i

n

α

∗

c

o

s

θ

+

c

o

s

α

∗

s

i

n

θ

=

y

∗

c

o

s

θ

+

x

∗

s

i

n

θ

\begin{cases} x'' = cos(\alpha + \theta) = cos\alpha * cos\theta - sin\alpha*sin\theta = x* cos\theta - y*sin\theta \\ y'' = sin(\alpha + \theta) = sin\alpha * cos\theta + cos\alpha*sin\theta = y* cos\theta + x*sin\theta \end{cases}

{x′′=cos(α+θ)=cosα∗cosθ−sinα∗sinθ=x∗cosθ−y∗sinθy′′=sin(α+θ)=sinα∗cosθ+cosα∗sinθ=y∗cosθ+x∗sinθ​ 则，顺时针旋转矩阵

R

′

′

R''

R′′为:

R

′

′

=

[

c

o

s

θ

−

s

i

n

θ

s

i

n

θ

c

o

s

θ

]

R''= \begin{bmatrix} cos\theta&-sin\theta\\ sin\theta&cos\theta\\ \end{bmatrix}

R′′=[cosθsinθ​−sinθcosθ​]

从上可以看出，这个负号位置问题，不但与旋转方向有关，还与原点有关

（3）总结

旋转矩阵R中，

s

i

n

θ

sin\theta

sinθ的负号位置与旋转方向和原点相关当记逆时针为正，左上角为原点时（opencv默认），旋转矩阵为：

R

=

[

c

o

s

θ

s

i

n

θ

−

s

i

n

θ

c

o

s

θ

]

R= \begin{bmatrix} cos\theta&sin\theta\\ -sin\theta&cos\theta\\ \end{bmatrix}

R=[cosθ−sinθ​sinθcosθ​]

3.4 opencv中的仿射矩阵

getRotationMatrix2D函数

CV_EXPORTS_W Mat getRotationMatrix2D( Point2f center, double angle, double scale )

该函数是来计算仿射矩阵:

[

α

β

(

1

−

α

)

⋅

center.x

−

β

⋅

center.y

−

β

α

β

⋅

center.x

+

(

1

−

α

)

⋅

center.y

]

\begin{bmatrix} \alpha & \beta & (1- \alpha ) \cdot \texttt{center.x} - \beta \cdot \texttt{center.y} \\ - \beta & \alpha & \beta \cdot \texttt{center.x} + (1- \alpha ) \cdot \texttt{center.y} \end{bmatrix}

[α−β​βα​(1−α)⋅center.x−β⋅center.yβ⋅center.x+(1−α)⋅center.y​]

其中

α

=

scale

⋅

cos

⁡

angle

,

β

=

scale

⋅

sin

⁡

angle

\begin{array}{l} \alpha = \texttt{scale} \cdot \cos \texttt{angle} , \\ \beta = \texttt{scale} \cdot \sin \texttt{angle} \end{array}

α=scale⋅cosangle,β=scale⋅sinangle​

center：源图旋转中心

angle： 旋转角度，用角度表示；逆时针旋转为正（坐标原点设为左上角）

Rotation angle in degrees.

Positive values mean counter-clockwise rotation (thecoordinate origin is assumed to be the top-left corner).

scale：各向同比缩放因子

源码

cv::Mat cv::getRotationMatrix2D( Point2f center, double angle, double scale )

{

CV_INSTRUMENT_REGION();

angle *= CV_PI/180;

double alpha = std::cos(angle)*scale;

double beta = std::sin(angle)*scale;

Mat M(2, 3, CV_64F);

double* m = M.ptr();

m[0] = alpha;

m[1] = beta;

m[2] = (1-alpha)*center.x - beta*center.y;

m[3] = -beta;

m[4] = alpha;

m[5] = beta*center.x + (1-alpha)*center.y;

return M;

}

矩阵由来：首先将轴心(x,y)移到原点，然后做旋转缩放变换，最后再将图像的左上角转换为原点

M

=

[

1

0

x

0

1

y

0

0

1

]

[

c

o

s

θ

s

i

n

θ

0

−

s

i

n

θ

c

o

s

θ

0

0

0

1

]

[

s

0

0

0

s

0

0

0

1

]

[

1

0

−

x

0

1

−

y

0

0

1

]

M= \begin{bmatrix} 1 & 0 &x \\ 0&1 & y\\ 0& 0 &1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} cos\theta &sin\theta &0 \\ -sin\theta & cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} s & 0 & 0\\ 0&s & 0\\ 0 &0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & -x\\ 0 & 1 &-y \\ 0& 0 & 1 \end{bmatrix}

M=⎣⎡​100​010​xy1​⎦⎤​⎣⎡​cosθ−sinθ0​sinθcosθ0​001​⎦⎤​⎣⎡​s00​0s0​001​⎦⎤​⎣⎡​100​010​−x−y1​⎦⎤​

4 参考文献

[1]仿射变换详解 warpAffine ：https://www.cnblogs.com/dupuleng/articles/4055020.html [2]仿射变换（Affine transformation）: https://blog.csdn.net/robert_chen1988/article/details/80498805 [3]opencv学习(三十五)之仿射变换warpAffine: https://blog.csdn.net/keith_bb/article/details/56331356